非相对论性自由高斯波包
这篇文章在坐标表象下计算了非相对论性高斯波包的振幅和概率幅的演化。
注：这里采用自然单位制，\(\hbar=1~。\)涉及到的所有积分都是全空间积分，懂得都懂，积分限就不写了。大写字母是算符（q数），其中头顶上带箭头的大写字母是矢量算符。小写字母是c数，其中头顶上不带箭头的小写字母是标量或矩阵，通过上下文可以区分；头顶上带箭头的小写字母是矢量。
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高斯波包
高斯波包是一个坐标表象下概率幅 \(|\psi(\vec{x})|^2\) 为高斯分布的波函数， \[ \begin{aligned} \langle\vec{x}|\psi\rangle=\psi(\vec{x})&=(高斯分布)^{1/2}\times平面波\\ &=\mathcal{N}\left(\langle\vec{x}\rangle,\sqrt{\left\langle\Delta\vec{x}^2\right\rangle}\right)^{1/2}\times e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}~, \end{aligned} \] 对应的概率幅为 \[ \begin{aligned} |\psi(\vec{x})|^2=\psi(\vec{x})^*\psi(\vec{x})&=高斯分布\\ &=\mathcal{N}\left(\langle\vec{x}\rangle,\sqrt{\left\langle\Delta\vec{x}^2\right\rangle}\right)~. \end{aligned} \] 具体地，一个在笛卡尔坐标系下动量为 \(\vec{p}_0,~\) 展宽（协方差矩阵）为 \(\left\langle\Delta\vec{x}^2\right\rangle=\mu,~\) 位于原点的高斯波包写作 \[ \psi(\vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{3/4}(\det\mu)^{1/4}}\exp\left(-\frac{1}{4}\vec{x}\cdot\left(\mu^{-1}\cdot\vec{x}\right)\right)\exp\left(i\vec{p}_0\cdot\vec{x}\right)~. \] 其中 \(\mu\) 是高斯分布的协方差矩阵，\(\det\mu\) 是它的行列式，\(\mu^{-1}\) 是它的逆。特别地，如果 \(\mu\) 是对角的，即 \(\mu=\operatorname{diag}(\xi^2,\eta^2,\zeta^2)~,\) 则 \[ \psi(\vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{3/4}(\xi\eta\zeta)^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{4}\left(\frac{x^2}{\xi^2}+\frac{y^2}{\eta^2}+\frac{z^2}{\zeta^2}\right)\right)\exp\left(i\vec{p}_0\cdot\vec{x}\right)~, \] 高斯波包的概率幅是 \[ |\psi(\vec{x})|^2=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}(\det\mu)^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{x}\cdot\left(\mu^{-1}\cdot\vec{x}\right)\right)~. \] 显然 \(|\psi(\vec{x})|^2\) 是一个三维高斯分布。对于对角的高斯波包，同样地有 \[ |\psi(\vec{x})|^2=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}\xi\eta\zeta}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{\xi^2}+\frac{y^2}{\eta^2}+\frac{z^2}{\zeta^2}\right)\right)~. \]
此外，\(|\psi\rangle\) 在动量表象下的波函数也是一个高斯波包，其概率幅的期望为 \(\vec{p}_0\) 。因此高斯波包可以描述一个动量为 \(\vec{p}_0\) 的非相对论性粒子。
自由高斯波包的演化
量子态的演化
非相对论粒子的演化服从Schrödinger方程， \[ i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle~. \] 其解可写作 \[ |\psi(t)\rangle=e^{-iH(t-t_0)}|\psi(t_0)\rangle~. \] 或 \[ |\psi(t)\rangle=U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle~. \] 其中 \(U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)}\) 称为时间演化算符，是一个幺正算符。末态 \(|\psi(t)\rangle\) 是初态 \(|\psi(t_0)\rangle\) 从 \(t_0\) 演化到 \(t\) 的结果，时间演化算符 \(U(t,t_0)\) 规定了初态变换到末态的方式。要在坐标表象下计算态的随时演化，将上式变换到坐标表象， \[ \langle\vec{x}|\psi(t)\rangle=\int\mathrm{d}\vec{x}_0\langle\vec{x}|U(t,t_0)|\vec{x}_0\rangle\langle\vec{x}_0|\psi(t_0)\rangle~, \] 或 \[ \psi(\vec{x},t)=\int\mathrm{d}\vec{x}_0\langle\vec{x}|U(t,t_0)|\vec{x}_0\rangle\psi(\vec{x}_0,t_0)~. \] 其中含有时间演化算符在坐标表象上的矩阵元 \(\langle\vec{x}|U(t,t_0)|\vec{x}_0\rangle,~\)即跃迁振幅。这个物体是一个关联函数，可以叫做传播子，也可以叫做 Green 函数。这里将其记作 \(K(\vec{x},t;\vec{x}_0,t_0)\) 。跃迁振幅描述了 \(t_0\) 时某个位置 \(\vec{x}_0\) 处的状态在 \(t\) 时分配到任意位置 \(\vec{x}\) 的权重；或者 \(t\) 时某个位置 \(\vec{x}\) 处的状态从 \(t_0\) 时各个 \(\vec{x}_0\) 处的状态组装的权重。这两种说法是等价的。关联函数 \(K(\vec{x},t;\vec{x}_0,t_0)\) 将两组时空 \((\vec{x},t),~\) \((\vec{x}_0,t_0)\) 的状态关联在一起。
用跃迁振幅来写，\(\psi(\vec{x},t_0)\) 演化到 \(t\) 时刻的结果是 \[ \begin{equation}\label{propagation} \psi(\vec{x},t)=\int\mathrm{d}\vec{x}_0K(\vec{x},t;\vec{x}_0,t_0)\psi(\vec{x}_0,t_0)~. \end{equation} \]
非相对论性自由传播子
在这里我们要计算的是自由粒子的演化，对应地，我们需要自由粒子的传播子。非相对论性自由粒子的哈密顿量为 \[ H=\frac{\vec{P}^2}{2m}~. \] 这里哈密顿量不显含时间，因此没有太多奥妙，只要将其原样塞进时间演化算符，就地算出传播子： \[ \begin{aligned} K(\vec{x},t;\vec{x}_0,t_0)&=\langle\vec{x}|U(t,t_0)|\vec{x}_0\rangle=\langle\vec{x}|e^{-iH(t-t_0)}|\vec{x}_0\rangle\\ &=\langle\vec{x}|\exp\left(-i\frac{\vec{P}^2}{2m}(t-t_0)\right)|\vec{x}_0\rangle \end{aligned} \] 算符 \(\vec{P}\) 在指数上，但没有关系，因为算符的指数展开式 \(\exp(Q)=\sum_{k=0}^\infty Q^k/k!\) 可以把 \(\vec{P}^2\) 全部降下来和左右矢平起平坐。然后一项一项作用，如果被作用的态矢是它的本征态，那么这个过程中每一项的形式都保持不变。这样作用完了再求和回去，就会变回原来指数的样子，除了算符变成了本征值。因此总的效果就是指数上的算符就地作用一个本征矢，作用出的系数留在指数上，本征矢在外面保持不变。在这里，立即要被 \(\vec{P}\) 作用的是位矢的本征态，这样是操作不了的，要先操作出 \(\vec{P}\) 作用在动量的本征态的形式。这个操作也非常容易，只要插入两个完备性关系，将 \(\vec{P}\) 和 \(|\vec{x}\rangle\) 用 \(|\vec{p}\rangle\) 隔开， \[ K(\vec{x},t;\vec{x}_0,t_0)=\int\mathrm{d}\vec{p}\mathrm{d}\vec{p}_0\langle\vec{x}|\vec{p}\rangle\langle\vec{p}|\exp\left(-i\frac{\vec{P}^2}{2m}(t-t_0)\right)|\vec{p}_0\rangle\langle\vec{p}_0|\vec{x}_0\rangle \] 就能保证展开后 \(\vec{P}\) 直接作用在动量本征态上。众所周知 \(\vec{P}|\vec{p}\rangle=\vec{p}|\vec{p}\rangle,~\) \(\vec{P}^2|\vec{p}\rangle=\vec{p}^2|\vec{p}\rangle,~\) 因此 \[ \begin{aligned} K(\vec{x},t;\vec{x}_0,t_0)&=\int\mathrm{d}\vec{p}\mathrm{d}\vec{p}_0\langle\vec{x}|\vec{p}\rangle\exp\left(-i\frac{\vec{p}^2}{2m}(t-t_0)\right)\langle\vec{p}|\vec{p}_0\rangle\langle\vec{p}_0|\vec{x}_0\rangle\\ &=\int\mathrm{d}\vec{p}\mathrm{d}\vec{p}_0\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}\exp\left(-i\frac{\vec{p}^2}{2m}(t-t_0)\right)\delta(\vec{p}-\vec{p}_0)\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{-i\vec{p}_0\cdot\vec{x}_0}\\ &=\int\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{(2\pi)^3}e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}\exp\left(-i\frac{\vec{p}^2}{2m}(t-t_0)\right)e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}_0}\\ &=\int\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{(2\pi)^3}\exp\left(-i\frac{\vec{p}^2}{2m}(t-t_0)+i\vec{p}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)\right)~, \end{aligned} \] 最后这个积分硬着头皮拆成三个方向算就可以了，没有太多奥妙。三个方向的形式是一样的。 \[ \begin{aligned} K(\vec{x},t;\vec{x}_0,t_0)&=\int\frac{\mathrm{d}p_x}{2\pi}\exp\left(-i\frac{p_x^2}{2m}(t-t_0)+ip_x(x-x_0)\right)\\&\quad\times\int\frac{\mathrm{d}p_y}{2\pi}(\cdots)\times\int\frac{\mathrm{d}p_z}{2\pi}(\cdots):=\mathcal{I}_x\mathcal{I}_y\mathcal{I}_z~. \end{aligned} \] 这里有必要采用一条积分公式： \[ \begin{equation}\label{integralformula} \int\mathrm{d}xe^{-ax^2+bx}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{b^2/4a}~,\quad\arg a\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)~. \end{equation} \] 但这里差一点点就能用上，因为动量平方的系数是纯虚的。这里做一个喜闻乐见的操作：给它补一个小小的实部，等会再让它取回0： \[ \begin{aligned} \mathcal{I}_x&=\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int\frac{\mathrm{d}p_x}{2\pi}\exp\left(-i\frac{p_x^2}{2m}(t-t_0-i\epsilon)+ip_x(x-x_0)\right)\\ &=\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{i\frac{1}{2m}(t-t_0-i\epsilon)}}\exp\left(\frac{-(x-x_0)^2}{4(i\frac{1}{2m}(t-t_0-i\epsilon))}\right)\\ &=\sqrt{\frac{m}{2\pi i(t-t_0)}}\exp\left(i\frac{m(x-x_0)^2}{2(t-t_0)}\right)~. \end{aligned} \] 一个方向的积分就搞出来了。剩下两个方向只要把 \(x\) 对应地换成 \(y\) 或 \(z\) 就行。再把它们组装起来，就获得了非相对论性粒子的三维自由传播子： \[ K(\vec{x},t;\vec{x}_0,t_0)=\left(\frac{m}{2\pi i(t-t_0)}\right)^{3/2}\exp\left(i\frac{m(\vec{x}-\vec{x}_0)^2}{2(t-t_0)}\right)~. \] 积分的存在性要求它只适用于前向传播，即 \(t>t_0~。\)
三维自由高斯波包的演化
有了传播子之后，计算时间演化的原料就凑齐了。根据 \(\eqref{propagation}~,\) 只需将传播子作用到高斯波包上去。不妨取时间起点 \(t_0=0~,\) 有 \[ \begin{aligned} \psi(\vec{x},t)&=\int\mathrm{d}\vec{x}_0K(\vec{x},t;\vec{x}_0,0)\psi(\vec{x}_0,0)\\ &=\int\mathrm{d}\vec{x}_0\bigg(\left(\frac{m}{2\pi it}\right)^{3/2}\exp\left(i\frac{m(\vec{x}-\vec{x}_0)^2}{2t}\right)\\ &\quad\times\frac{1}{(2\pi)^{3/4}(\det\mu)^{1/4}}\exp\left(-\frac{1}{4}\vec{x}_0\cdot\left(\mu^{-1}\cdot\vec{x}_0\right)\right)\exp\left(i\vec{p}_0\cdot\vec{x}_0\right)\bigg)\\ &=C\int\mathrm{d}\vec{x}_0\exp\left(-\frac{1}{4}\vec{x}_0\cdot\left(\mu^{-1}\cdot\vec{x}_0\right)+i\left(\frac{m(\vec{x}-\vec{x}_0)^2}{2t}+\vec{p}_0\cdot\vec{x}_0\right)\right)~, \end{aligned} \] 其中 \(C=\left(\frac{m}{2\pi it}\right)^{3/2}\frac{1}{(2\pi)^{3/4}(\det\mu)^{1/4}}\) 是一些垃圾系数，先收集起来。接下来要做的动作是算出这个积分。
这里也没有太多奥妙，想办法把这只积分拆到三个方向分别算即可。
但因为 \(\vec{x}_0\cdot\left(\mu^{-1}\cdot\vec{x}_0\right)\) 这个物体的存在，三个坐标混合了，直接拆是不行的，要把这个二次型先对角化。设正交变换 \[ \begin{aligned} \vec{x}\mapsto\vec{x}'&=a^{-1}\cdot\vec{x}~,\\ \mu\mapsto\lambda&=a^{-1}\cdot\mu\cdot a~, \end{aligned} \] 将 \(\mu\) 对角化为 \(\lambda=\operatorname{diag}(\xi^2,\eta^2,\zeta^2)~。\) 对位矢空间做这一变换，则 \[ \vec{x}_0\cdot\left(\mu^{-1}\cdot\vec{x}_0\right)=\vec{x}'_0\cdot\left(\lambda^{-1}\cdot\vec{x}'_0\right)={x'_0}^2/\xi^2+{y'_0}^2/\eta^2+{z'_0}^2/\zeta^2~. \] 总是可以选取保空间手性的正交变换，\(\det a=1\) ，从而变换保积分测度 \[ \mathrm{d}\vec{x}_0=\mathrm{d}\vec{x}'_0\mathrm{det}a=\mathrm{d}\vec{x}'_0~. \] 正交变换保内积，故 \[ (\vec{x}-\vec{x}_0)^2=(\vec{x}'-\vec{x}'_0)^2~. \] 由于存在动量和位矢的内积项，对动量空间也做同样的变换 \[ \vec{p}\mapsto\vec{p}'=a\cdot\vec{p}~. \] 这种联合变换下动量和位矢的内积项形式不变： \[ \vec{p}_0\cdot\vec{x}_0=(a\cdot\vec{p}'_0)\cdot(a\cdot\vec{x}'_0)=\vec{p}'_0\cdot(a^{-1}\cdot a\cdot\vec{x}'_0)=\vec{p}'_0\cdot\vec{x}'_0~. \] 则 \(\psi(\vec{x},t)\) 化为 \[ \psi(\vec{x},t)=C\int\mathrm{d}\vec{x}_0'\exp\left(-\frac{1}{4}\left(\lambda^{-1}\cdot\vec{x}'_0\right)\cdot\vec{x}'_0+i\left(\frac{m(\vec{x}'-\vec{x}'_0)^2}{2t}+\vec{p}'_0\cdot\vec{x}'_0\right)\right)~. \] 此时积分号内不再有交叉项，直接拆开指数，变成三个积分。三个积分的形式是一样的： $$ \begin{aligned} \psi(\vec{x},t)&=C\int\mathrm{d}x_0'\exp\left(-\frac{{x'_0}^2}{4\xi^2}+i\left(\frac{m(x'-x'_0)^2}{2t}+{p'_x}_0x'_0\right)\right)\\ &\quad\times\int\mathrm{d}y_0'\exp\left(-\frac{{y'_0}^2}{4\eta^2}+i\left(\frac{m(y'-y'_0)^2}{2t}+{p'_y}_0y'_0\right)\right)\\ &\quad\times\int\mathrm{d}z_0'\exp\left(-\frac{{z'_0}^2}{4\zeta^2}+i\left(\frac{m(z'-z'_0)^2}{2t}+{p'_z}_0z'_0\right)\right):=C\mathcal{J}_x\mathcal{J}_y\mathcal{J}_z~. \end{aligned} $$ 这里的积分中指数上也是二次多项式，诱惑着我们去凑 \(\eqref{integralformula}\) 的形式， $$ \begin{aligned} \mathcal{J}_x&=\int\mathrm{d}x_0'\exp\left(-\frac{{x'_0}^2}{4\xi^2}+i\left(\frac{m}{2t}{x'_0}^2+\left({p'_x}_0-\frac{m}{t}x'\right)x'_0+\frac{m}{2t}{x'}^2\right)\right)\\ &=\exp\left(i\frac{m}{2t}{x'}^2\right)\int\mathrm{d}x_0'\exp\left(-\left(\frac{1}{4\xi^2}-i\frac{m}{2t}\right){x'_0}^2+i\left({p'_x}_0-\frac{m}{t}x'\right)x'_0\right) \end{aligned} $$ 这里正好有 \(\arg(1/4\xi^2-im/2t)\) \(\in(-\pi/2,\pi/2)~,\) 可以非常安全地对右边的积分应用 \(\eqref{integralformula}~,\) $$ \begin{aligned} \mathcal{J}_x&=\exp\left(i\frac{m}{2t}{x'}^2\right)\sqrt{\frac{\pi}{\frac{1}{4\xi^2}-i\frac{m}{2t}}}\exp\left(-\frac{\left({p'_x}_0-\frac{m}{t}x'\right)^2}{4\left(\frac{1}{4\xi^2}-i\frac{m}{2t}\right)}\right)\\ &=\sqrt{\frac{2\pi it/m}{\xi_t^2/\xi^2}}\exp\left(-\frac{\left(x'-\frac{{p'_x}_0}{m}t\right)^2}{4\xi_t^2}\right)\exp\left(i{p'_x}_0\left(x'-\frac{1}{2}\frac{{p'_x}_0}{m}t\right)\right)~,\\ \end{aligned} $$ 其中 \(\xi_t^2=\xi^2+i\frac{t}{2m}~。\) 好，剩下两个方向的积分长得一模一样，换一下参数就有 $$ \begin{align} \mathcal{J}_y&=\sqrt{\frac{2\pi it/m}{\eta_t^2/\eta^2}}\exp\left(-\frac{\left(y'-\frac{{p'_y}_0}{m}t\right)^2}{4\eta_t^2}\right)\exp\left(i{p'_y}_0\left(y'-\frac{1}{2}\frac{{p'_y}_0}{m}t\right)\right)\\ \mathcal{J}_z&=\sqrt{\frac{2\pi it/m}{\zeta_t^2/\zeta^2}}\exp\left(-\frac{\left(z'-\frac{{p'_z}_0}{m}t\right)^2}{4\zeta_t^2}\right)\exp\left(i{p'_z}_0\left(z'-\frac{1}{2}\frac{{p'_z}_0}{m}t\right)\right) \end{align} $$ 把它们合体，组装成时间演化后的波函数 $$ \begin{aligned} \psi(\vec{x},t)&=C\left(\frac{2\pi it}{m}\right)^{3/2}\frac{\xi\eta\zeta}{\xi_t\eta_t\zeta_t}\\ &\quad\times\exp\left(-\frac{1}{4}\left(\frac{\left(x'-\frac{{p'_x}_0}{m}t\right)^2}{\xi_t^2}+\frac{\left(y'-\frac{{p'_y}_0}{m}t\right)^2}{\eta_t^2}+\frac{\left(z'-\frac{{p'_z}_0}{m}t\right)^2}{\zeta_t^2}\right)\right)\\ &\quad\times\exp\left(i\vec{p}'_0\cdot\left(\vec{x}'-\frac{1}{2}\frac{\vec{p}'_0}{m}t\right)\right)~, \end{aligned} $$ 记 \(\lambda_t=\operatorname{diag}(\xi_t^2,\eta_t^2,\zeta_t^2)~,\) 注意到 \(\xi\eta\zeta\) \(=(\det\lambda)^{1/2}\) \(=(\det\mu)^{1/2}~,\) \(\xi_t\eta_t\zeta_t=(\det\lambda_t)^{1/2}~,\) 并将第二块指数合体为二次型，有 \[ \begin{aligned} \psi(\vec{x},t)&=\left(\frac{m}{2\pi it}\right)^{3/2}\frac{1}{(2\pi)^{3/4}(\det\mu)^{1/4}}\left(\frac{2\pi it}{m}\right)^{3/2}\frac{(\det\lambda)^{1/2}}{(\det\lambda_t)^{1/2}}\\ &\quad\times\exp\left(-\frac{1}{4}\left(\vec{x}'-\frac{\vec{p}'_0}{m}t\right)\cdot\left(\lambda_t^{-1}\cdot\left(\vec{x}'-\frac{\vec{p}'_0}{m}t\right)\right)\right)\exp\left(i\vec{p}'_0\cdot\left(\vec{x}'-\frac{1}{2}\frac{\vec{p}'_0}{m}t\right)\right)\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{3/4}\left(\det\left(\lambda_t^2\cdot\lambda^{-1}\right)\right)^{1/4}}\\ &\quad\times\exp\left(-\frac{1}{4}\left(\vec{x}'-\frac{\vec{p}'_0}{m}t\right)\cdot\left(\lambda_t^{-1}\cdot\left(\vec{x}'-\frac{\vec{p}'_0}{m}t\right)\right)\right)\exp\left(i\vec{p}'_0\cdot\left(\vec{x}'-\frac{1}{2}\frac{\vec{p}'_0}{m}t\right)\right)~. \end{aligned} \] 现在做前面所做正交变换的逆变换，变回原来的空间， \[ \begin{aligned} \vec{x}'\mapsto\vec{x}&=a\cdot\vec{x}'~,\\ \vec{p}'\mapsto\vec{p}&=a\cdot\vec{p}'~. \end{aligned} \] 同样地，这个变换保位矢空间和动量空间内部、以及它们之间的内积。记 \(\rho_t=a\cdot\lambda_t\cdot a^{-1}~,\) 变换之后， \[ \begin{equation}\label{evolutedstate} \psi(\vec{x},t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/4}\left(\det\left(\lambda_t^2\cdot\lambda^{-1}\right)\right)^{1/4}}\exp\left(-\frac{1}{4}\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\cdot\left(\rho_t^{-1}\cdot\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\right)\right)\exp\left(i\vec{p}_0\cdot\left(\vec{x}-\frac{1}{2}\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\right)~. \end{equation} \] 到这里差不多完成了，波函数基本上就长这个样子，这就是三维高斯波包的随时演化。但还有一个重要的问题需要考虑。我们希望验证一下演化后的概率幅是否还是高斯分布，如果是，其参数是什么。注意，从这里的 \(\rho_t\) 是看不出什么东西的，因为这个玩意是复的。
概率幅
含时波包 \(\eqref{evolutedstate}\) 对应的概率幅为 \[ \begin{aligned} |\psi(\vec{x},t)|^2&=\psi(\vec{x},t)^*\psi(\vec{x},t)\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}\left(\det\left(\lambda_t^2\cdot\lambda^{-1}\right)^*\det\left(\lambda_t^2\cdot\lambda^{-1}\right)\right)^{1/4}}\\ &\quad\times\exp\left(-\frac{1}{4}\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\cdot\left(\left(\left(\rho_t^{-1}\right)^*+\rho_t^{-1}\right)\cdot\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\right)\right) \end{aligned} \] 行列式的复共轭等于复共轭的行列式，并且 \(\lambda,~\lambda_t\) 都是对角的，可以随便交换，而且 \(\lambda\) 是实的。因此系数下面 \(\det\left(\lambda_t^2\cdot\lambda^{-1}\right)^*\) \(\det\left(\lambda_t^2\cdot\lambda^{-1}\right)\) \(=\det\left(\left({\lambda_t}^*\cdot\lambda_t\right)^2\cdot\lambda^{-2}\right)\) \(=\det\left({\lambda_t}^*\cdot\lambda_t\cdot\lambda^{-1}\right)^2~。\) 另外，众所周知 \(\left(\rho_t^{-1}\right)^*+\rho_t^{-1}\) \(=2\Re(\rho_t^{-1})~。\) 将它们都代入 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) 中，有 \[ \begin{equation}\label{rawsquarednorm} |\psi(\vec{x},t)|^2=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}\det\left({\lambda_t}^*\cdot\lambda_t\cdot\lambda^{-1}\right)^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\cdot\left(\Re(\rho_t^{-1})\cdot\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\right)\right) \end{equation} \] 到这里已经可以看出这是一个高斯分布，其协方差矩阵就是 \(\Re(\rho_t^{-1})^{-1}~。\) 记 \(\Re(\rho_t^{-1})^{-1}=\mu_t~,\) 不出意外的话一定会有 \(\det\left({\lambda_t}^*\cdot\lambda_t\cdot\lambda^{-1}\right)\) \(=\det{\mu_t}~。\) 保险起见，我们来验证一下这一点。先看系数下面的行列式， \[ \det\left({\lambda_t}^*\cdot\lambda_t\cdot\lambda^{-1}\right)=\frac{\det({\lambda_t})^*\det(\lambda_t)}{\det(\lambda)} \] 前面我们定义了 \(\lambda=\operatorname{diag}(\xi^2,\eta^2,\zeta^2)~,\) \(\lambda_t=\operatorname{diag}(\xi_t^2,\eta_t^2,\zeta_t^2)~。\) 其中 \(\lambda\) 是初态协方差矩阵 \(\mu\) 通过正交变换对角化的结果。依定义 \(\xi_t^2=\xi^2+i\frac{t}{2m}~。\) 从而 \[ \begin{aligned} \det\left({\lambda_t}^*\cdot\lambda_t\cdot\lambda^{-1}\right)&=\frac{\left(\xi^2-i\frac{t}{2m}\right)\left(\eta^2-i\frac{t}{2m}\right)\left(\zeta^2-i\frac{t}{2m}\right)\left(\xi^2+i\frac{t}{2m}\right)\left(\eta^2+i\frac{t}{2m}\right)\left(\zeta^2+i\frac{t}{2m}\right)}{\xi^2\eta^2\zeta^2}\\ &=\left(\xi^2+\frac{t^2}{4m^2\xi^2}\right)\left(\eta^2+\frac{t^2}{4m^2\eta^2}\right)\left(\zeta^2+\frac{t^2}{4m^2\zeta^2}\right)~. \end{aligned} \] 另一边，还要算一算 \(\mu_t=\Re(\rho_t^{-1})^{-1}~。\) 前面定义了 \(\rho_t=a\cdot\lambda_t\cdot a^{-1}~,\) 即 \(\rho_t^{-1}=a\cdot\lambda_t^{-1}\cdot a^{-1}~,\) 是一个两个实矩阵夹住一个对角复矩阵这样的物体。照样计算， \[ \begin{aligned} \mu_t=\Re(\rho_t^{-1})^{-1}&=\Re(a\cdot\lambda_t^{-1}\cdot a^{-1})^{-1}\\ &=\Re\left(a\cdot\left(\Re(\lambda_t^{-1})+i\Im(\lambda_t^{-1})\right)\cdot a^{-1}\right)^{-1}\\ &=\Re\left(a\cdot\Re(\lambda_t^{-1})\cdot a^{-1}+ia\cdot\Im(\lambda_t^{-1})\cdot a^{-1}\right)^{-1}\\ &=\left(a\cdot\Re(\lambda_t^{-1})\cdot a^{-1}\right)^{-1}\\ &=a\cdot\Re(\lambda_t^{-1})^{-1}\cdot a^{-1}~. \end{aligned} \] 然后我们看看 \(\Re(\lambda_t^{-1})^{-1}\) 是什么玩意： \[ \begin{aligned} \Re(\lambda_t^{-1})^{-1}&=\Re\left(\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\xi^2+i\frac{t}{2m}},\frac{1}{\eta^2+i\frac{t}{2m}},\frac{1}{\zeta^2+i\frac{t}{2m}}\right)\right)^{-1}\\ &=\Re\left(\operatorname{diag}\left(\frac{\xi^2-i\frac{t}{2m}}{\xi^4+\frac{t^2}{4m^2}},\frac{\eta^2-i\frac{t}{2m}}{\eta^4+\frac{t^2}{4m^2}},\frac{\zeta^2-i\frac{t}{2m}}{\zeta^4+\frac{t^2}{4m^2}}\right)\right)^{-1}\\ &=\operatorname{diag}\left(\xi^2+\frac{t^2}{4m^2\xi^2},\eta^2+\frac{t^2}{4m^2\eta^2},\zeta^2+\frac{t^2}{4m^2\zeta^2}\right)~. \end{aligned} \] 很好，这样一来就确定有了 \[ \begin{aligned} \det{\mu_t}&=\det\left(\Re(\rho_t^{-1})^{-1}\right)=\det\left(a\cdot\Re(\lambda_t^{-1})^{-1}\cdot a^{-1}\right)=\det\left(\Re(\lambda_t^{-1})^{-1}\right)\\ &=\left(\xi^2+\frac{t^2}{4m^2\xi^2}\right)\left(\eta^2+\frac{t^2}{4m^2\eta^2}\right)\left(\zeta^2+\frac{t^2}{4m^2\zeta^2}\right)\\ &=\det\left({\lambda_t}^*\cdot\lambda_t\cdot\lambda^{-1}\right)~. \end{aligned} \] 到这里就非常确信，演化后的概率幅依然是一个高斯分布，其协方差矩阵为 \(\mu_t=\Re(\rho_t^{-1})^{-1}~。\) 将其完整写出，概率幅为 \[ \begin{equation} |\psi(\vec{x},t)|^2=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}\det\left(\mu_t\right)^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\cdot\left(\mu_t^{-1}\cdot\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\right)\right) \end{equation} \] 分布的期望是 \[ \langle\vec{x}\rangle=\frac{\vec{p}_0}{m}t~. \] 所以含时概率幅可以写为 \[ \begin{aligned}\label{evolutedsquarednorm} |\psi(\vec{x},t)|^2&=\mathcal{N}\left(\langle\vec{x}\rangle,\mu_t\right)\\ &=\mathcal{N}\left(\frac{\vec{p}_0}{m}t,a\cdot\operatorname{diag}\left(\xi^2+\frac{t^2}{4m^2\xi^2},\eta^2+\frac{t^2}{4m^2\eta^2},\zeta^2+\frac{t^2}{4m^2\zeta^2}\right)\cdot a^{-1}\right)~. \end{aligned} \]
从概率幅可以看出，分布沿着 \(\vec{p}_0\) 方向匀速平移，平移的同时不断扩散。相当于一个做匀速直线运动的粒子，和经典力学一样，其运动速度正好是 \(\vec{v}_0=\vec{p}_0/m~。\) 另一方面，分布随时间沿协方差矩阵的主轴扩散，扩散的快慢和粒子质量以及初始波包大小有关。具体来说，一个主轴方向的标准差按 \(\sqrt{\xi^2+\frac{t^2}{4m^2\xi^2}}\) 的规律随时间增大，时间 \(t\) 比较大或初始标准差 \(\xi\) 比较小时，波包扩散的速率差不多是 \((2m\xi)^{-1}~,\) 反比于粒子质量和波包的初始大小。粒子越轻，初始波包大小越小，波包扩散越快，反之亦然。
图图
单个轻粒子
首先来看一个静止的轻粒子。取 \(m=1,~\vec{p}_0=(0,0),~\) \(\mu=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}~。\)
波的实部 \(\Re(\psi(\vec{x},t))\) ：
振幅模方 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) ：
然后来看一个速度很慢的粒子。取 \(m=1,~\vec{p}_0=(1,0),~\) \(\mu=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}~。\)
波的实部 \(\Re(\psi(\vec{x},t))\) ：
振幅模方 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) ：
接着再看一个快一点点的粒子。取 \(m=1,~\vec{p}_0=(2,0),~\) \(\mu=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}~。\)
波的实部 \(\Re(\psi(\vec{x},t))\) ：
振幅模方 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) ：
最后再看一个更快一些的粒子，同时它的波包形状不是对角的，此时会呈现出各向异性，不同宽度的主轴方向扩散速度不一样。取 \(m=1,~\vec{p}_0=(3,0),~\) \(\mu=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}~。\)
波的实部 \(\Re(\psi(\vec{x},t))\) ：
振幅模方 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) ：
单个重粒子
看一个重一些的粒子。由式 \(\eqref{evolutedsquarednorm}\) 可知，重一点的粒子波包扩散的速度慢一些，粒子性更强。取 \(m=10,~\vec{p}_0=(10,0),~\) \(\mu=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}~。\)
波的实部 \(\Re(\psi(\vec{x},t))\) ：
振幅模方 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) ：
再看一个形状不对称的粒子。取 \(m=10,~\vec{p}_0=(10,0),~\) \(\mu=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}~。\)
波的实部 \(\Re(\psi(\vec{x},t))\) ：
振幅模方 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) ：
粒子干涉（无相互作用）
最后来看看两个粒子的干涉，从振幅模方中能看到干涉条纹。首先来看两个轻粒子的干涉。
波的实部 \(\Re(\psi(\vec{x},t))\) ：
振幅模方 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) ：
然后看看重粒子的干涉。
波的实部 \(\Re(\psi(\vec{x},t))\) ：
振幅模方 \(|\psi(\vec{x},t)|^2\) ：
小结
动量为 \(\vec{p}_0\) ，位矢分布协方差矩阵为 \(\mu\) 的高斯波包 \[ \psi(\vec{x},0)=\frac{1}{(2\pi)^{3/4}(\det\mu)^{1/4}}\exp\left(-\frac{1}{4}\vec{x}\cdot\left(\mu^{-1}\cdot\vec{x}\right)\right)\exp\left(i\vec{p}_0\cdot\vec{x}\right)~. \] 的非相对论性动力学演化为 \[ \begin{equation} \psi(\vec{x},t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/4}\left(\det\left(\lambda_t^2\cdot\lambda^{-1}\right)\right)^{1/4}}\exp\left(-\frac{1}{4}\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\cdot\left(\rho_t^{-1}\cdot\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\right)\right)\exp\left(i\vec{p}_0\cdot\left(\vec{x}-\frac{1}{2}\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\right)~. \end{equation} \] 其中 \(\rho_t=a\cdot\lambda_t\cdot a^{-1}~,\) \(\lambda_t=\operatorname{diag}(\xi_t^2,\eta_t^2,\zeta_t^2)~,\) 且 \(\xi_t^2=\xi^2+i\frac{t}{2m}~,\) \(\lambda=\operatorname{diag}(\xi^2,\eta^2,\zeta^2)\) 由 \(\mu\) 通过正交变换 \(a\) 对角化而来，\(\lambda=a^{-1}\cdot\mu\cdot a~。\) 含时概率幅为 \[ \begin{equation} |\psi(\vec{x},t)|^2=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}\det\left(\mu_t\right)^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\cdot\left(\mu_t^{-1}\cdot\left(\vec{x}-\frac{\vec{p}_0}{m}t\right)\right)\right) \end{equation} \] 其中 \(\mu_t=\Re(\rho_t^{-1})^{-1}\) 为演化后的高斯分布的协方差矩阵。